SGCG

Volver arriba

El modelo epidemiológico SIR (8)

2020-04-11

El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos:

• cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia;
• el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial;
• cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo;
• cómo calcular el máximo número de infectados simultáneos;
• cómo calcular el resultado final de la epidemia;
• cómo se comporta la epidemia en el entorno del máximo de infectados simultáneos.

Hoy estudiaremos cómo varían los infectados cerca del final de la epidemia.

Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dS ⁄ dt = −(R₀ ⁄ t_I) S I;

dI ⁄ dt = (R₀ ⁄ t_I) S I − (1 ⁄ t_I) I;

dR ⁄ dt = (1 ⁄ t_I) I.

El parámetro R₀ es el ritmo reproductivo básico: el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible. El parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.

Tras un tiempo largo, la epidemia acaba extinguiéndose de acuerdo con el modelo. Como vimos, los infectados tienden a anularse, mientra que los susceptibles S(∞) y los recuperados R(∞) satisfacen las siguientes ecuaciones:

S(0) e^{−R₀ [R(∞)−R(0)]} + R(∞) = 1;

S(∞) = 1 − R(∞).

En tiempos largos, el valor de S(t) será muy similar a S(∞), así que podemos aproximar la dinámica de los infectados de la siguiente manera:

dI ⁄ dt ≃ (R₀ ⁄ t_I) S(∞) I − (1 ⁄ t_I) I, t→∞.

De esto se deduce que el número de infectados varía aproximadamente de la siguiente manera a partir de un tiempo grande t_d:

I(t) ≅ I(t_d) e^{−{[1−R₀ S(∞)] ⁄ t_I} (t−t_d)}, t→∞.

Igual que los infectados crecen exponencialmente al comienzo de la epidemia, decrecen exponencialmente al final de la epidemia.

Categorías: Matemáticas, Salud

Artículos publicados el mismo mes

Permalink: http://sgcg.es/articulos/2020/04/11/el-modelo-epidemiologico-sir-8/

Volver arriba