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Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico de 2011 (4)

2011-04-30

Esta semana se celebra el Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico (sobre hielo) de 2011 en Moscú. Ayer se celebró el corto femenino y hoy tuvo lugar el largo. He aquí nuestras impresiones sobre la actuación de algunas de nuestras patinadoras favoritas durante el corto.

La española Sonia Lafuente se quedó a las puertas de llegar a la final en el puesto número veinticinco. Una lástima, pues el europeo de este año había salido mejor que el del anterior y teníamos la esperanza de ver un salto semejante en el mundial. El programa era bastante bueno, de hecho, pero lo estropeó, justo al principio, una fea caída en un triple bucle que tendría que haber estado en combinación (de modo que la combinación tuvo que venir después con menos dificultad). El resto de la actuación, aunque potente, no fue tan brillante como habría sido necesario. Estas cosas pasan, pero no deja de ser una lástima.

La sueca Viktoria Helgesson estuvo flojilla técnicamente y acabó en la plaza veinticuatro, justo por delante de Sonia Lafuente. Podemos hacernos a la idea de cómo la deficiencia técnica fue penalizadora si comparamos la puntuación de elementos de programa con la de las demás competidoras en los puestos del entorno: fue superior a la del puesto dieciséis, su hermana Joshi Helgesson, quien mostró una técnica mucho más contundente.

Nuestra gran favorita, la italiana Carolina Kostner, hizo un programa que estuvo a punto de ser soberbio. El problema: una caída en un triple flip. El resultado: la sexta plaza. No conviene equivocarse en un corto.

La fabulosa Alena Leonova, rusa, hizo un magnífico corto muy limpio técnicamente y bien coreografiado, mejor que el del europeo. Se puso en quinto lugar.

La surcoreana Yuna Kim se colocó en el primer puesto. Esta potentísima patinadora, campeona olímpica el año pasado y habitual de los podios de los mundiales de la segunda mitad de la pasada década, es una máquina técnica que, sin embargo, tuvo algún defectillo en el presente corto (un triple lutz mal recibido justo al principio que podría haber estado en combinación de haber salido bien, lo que obligo a combinar después con menor dificultad). La puntuación de elementos de programa fue la mejor de la jornada.

El libre fue hoy, pero falta el tiempo para verlo. Pronto tendremos un nuevo artículo recién salido del horno.

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Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico de 2011 (3)

2011-04-28

Esta semana se celebra el Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico (sobre hielo) de 2011 en Moscú. Hoy fue la final masculina. Veamos cómo les fue a algunos de los faviritos de esta casa.

Empezamos el repaso con el español Javier Fernández, quien nos ofreció un programa muy, pero que muy potente, sólo empañado por una caída en la combinación de triple axel, triple metz y un par de desperfectos mínimos (algo lenta la pirueta combinada del final del programa, que «sólo» fue de nivel 2). El resultado final: un ascenso de cuatro puestos hasta la décima posición.

Seguimos con nuestro viejo favorito el francés Brian Joubert. Las imperfecciones fueron escasísimas, pero la competencia era feroz. El resultado final fue una octava plaza. ¡Había que dejar que otros probaran el podio!

Patrick Chan, la máquina de patinar canadiense, pertenece a un nivel superior de dioses del deporte. Sólo hay que ver el abismo que lo separó de sus competidores más cercanos (aunque el japonés Takahiko Kozuka, quien saltó en la clasificación hasta el segundo puesto final, lo superó en técnica). Primer puesto final para la casi perfección, pues el programa no fue perfecto… pero apreciemos la excelencia táctica que permitió la adaptación en las situaciones difíciles para mantener la distancia por encima del plano mortal. Todos queremos ser así de mayores.

Vivimos unos minutos de tensión con el japonés Daisuke Takahashi, campeón del mundo del año pasado, cuya cuchilla izquierda se rebeló en el metz del principio del programa. La humedad y las cargas excéntricas juegan estas malas pasadas, pero ahí estaba el equipo para colocar un tornillo a tiempo y evitar la descalificación. El programa fue muy bueno habida cuenta del incidente con la cuchilla, pero inferior técnicamente al esperado —con una caída feísima en el triple salchow—; el resultado fue un sexto puesto en el libre, lo que supuso el descenso a la quinta plaza final. Ahora bien, la impresión dejada ante las cámaras fue de elegancia, deportividad.

La fuerza se le escapó al belga Kevin van der Perren, quien ofreció un largo plagado de elementos fallidos, con dobles que se colaban por sorpresa. Bajó al puesto diecisiete.

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Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico de 2011 (2)

2011-04-27

Esta semana se celebra el Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico (sobre hielo) de 2011 en Moscú. Vamos a hacer un repaso muy rápido a los resultados del corto masculino que afectan a algunos de los patinadores favoritos de esta casa.

El español Javier Fernández quedó en el puesto número catorce tras presentar un programa que, si bien era muy potente, estaba salpicado por pequeños fallos que fueron comiéndose puntos. El error más importante fue en la combinación de triple flip, triple metz que acabó en sobregiro tras la recepción del segundo salto. Veremos qué pasa en el largo.

Nuestro viejo favorito Brian Joubert, bien acostumbrado a pisar el podio, tiene difícil llevarse a casa una medalla este año al encontrarse en un noveno puesto tras el corto. Falló la concentración del francés en plena ejecución de un cuádruple metz (¡que iba a estar en combinación!) justo al comienzo del programa. El resto fue tremendo, pero los dioses no perdondan los descuidos. Ahora bien, si hay alguien que puede ascender meteóricamente puestos y puestos, ése es nuestro Brian. Allez Babou!

El meteórico francés Florent Amodio, campeón de Europa de este año, se lo pasó bomba en el hielo mientras se ganaba un quinto puesto con no muchos aspectos por mejorar.

Del canadiense Patrick Chan, primer primerísimo clasificado con un margen espectacular, poco puedo decir, ya que no me quedan sombreros para quitarme. La ventaja está, sobre todo, en una técnica impecable y contundente, pero en elementos de programa también fue el mejor.

El japonés Daisuke Takahashi, campeón del mundo del año pasado, se situó en el tercer puesto con un programa marchoso y brillante que en elementos sólo fue superado por Patrick Chan.

Kevin van der Perren, nuestro viejo conocido belga que lleva en la alta competición toda la vida, tuvo un mal día que empezó con una caída en un cuádruple metz justo al principio del programa. El nivel técnico bajó por motivos tácticos y el programa acabó siendo de puesto número quince.

El japonés Nobunari Oda cerró la sesión con un muy potente programa que compartía un error en la serie de pasos con su compatriota Daisuke Takahashi. Olvidados quedan los problemas del año pasado; Nobunari Oda se muestra formidable en esta competición.

Nos dejamos en el tintero muchos patinadores, pero se hace tarde.

La final de mañana promete ser emocionante y muy, muy reñida. Los primeros puestos están todos muy próximos en puntuación y puede pasar cualquier cosa. El único puesto que parece casi seguro es el del lejano, lejanísimo Patrick Chan.

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Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico de 2011 (1)

2011-04-25

Esta semana se celebra el Campeonato del Mundo de Patinaje Artístico (sobre hielo) en Moscú. Vamos a tener unos días muy emocionantes.

Hoy tiene lugar la ronda preliminar masculina y mañana será el turno de la femenina y la de danza. El miércoles llegará primero el corto masculino y después el corto de parejas, mientras que la final de estas dos categorías llegará el jueves. Las chicas y la danza tendrán sus cortos el viernes y sus largos el sábado. La competición será clausurada con la gala del domingo. El horario detallado y actualizado de la competición está disponible (en inglés y en ruso) en la página del campeonato.

Esta competición iba a celebrarse en Tokio el mes de marzo, pero tuvo que ser postergada y trasladada debido a la catástrofe ocurrida en Japón poco tiempo antes.

Categorías: Actualidad, Deporte

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Método actualizado para descargar audio y vídeo de la mediateca de RTVE y TVE a la carta

2011-04-24

Actualización:
El sistema de distribución de vídeo de la página de RTVE ha cambiado varias veces desde la escritura de este artículo y el método aquí descrito está obsoleto. El método que funciona en el momento de escribir esta actualización (septiembre de 2012) está en un artículo más reciente. También hay una versión al día del programita rtve-mediateca-dl que implementa esté método.

Vuelve a haber cambios en las páginas de la mediateca de RTVE y en TVE a la carta. Afortunadamente, estos últimos cambios son poco significativos y podemos adaptarnos a ellos fácilmente para poder descargar unos contenidos por los que ya hemos pagado, lo que además tiene la ventaja de ahorrar recursos económicos de RTVE (por lo tanto, de todos) si queremos disfrutar del contenido en más de una ocasión. También puede suceder que varios amigos queramos hacernos con nuestro programa favorito; en tal caso, podemos descargarlo sólo una vez y luego repartirlo de mano en mano, lo que también servirá para ahorrar ancho de banda de RTVE que al final tenemos que pagar entre todos.

Sigue el procedimiento paso a paso. Después hay información sobre programas que automatizan el trabajo.

Procedimiento paso a paso

1. Nos vamos a la página en la que se encuentra el contenido que nos interesa. Inspeccionamos su código.
2. En varios lugares aparecerá la siguiente cadena de texto:
   assetID=A1A2A3A4A5A6_idioma_tipos
   En esta cadena, A1A2A3A4A5A6 es un número que identifica el contenido (cada letra con subíndice representa un dígito), idioma es una secuencia de dos caracteres que parece identificar el idioma (sólo he encontrado la secuencia es) y tipos es una secuencia que identifica el tipo de contenido (audios para sonido y videos para imágenes en movimiento). Podemos repetir los siguientes pasos para cada una de las veces que encontremos este texto.
3. Sabemos desde hace tiempo que tenemos que bajar un fichero con información sobre el contenido. Este fichero se encuentra en la dirección (muy similar a la del sistema anterior):
   http://www.rtve.es/swf/idioma/tipos/tipo/A6/A5/A4/A3/A1A2A3A4A5A6.xml
   En esta dirección, tipo es el singular de tipos: audio si tipos es audios y video si tipos es videos. La dirección termina con los cuatro últimos dígitos del número identificador de contenido en orden inverso y separados por barras seguidos del propio número identificador del contenido y el sufijo .xml.
4. Descargamos el recurso localizado en la dirección construida en el anterior paso. Este recurso tiene alguna información que puede sernos útil (como el título del contenido, que aparece en un elemento llamado <title>). Si tenemos buena suerte, el recurso contendrá un elemento <file> con la ruta local del fichero de audio o vídeo que nos interesa descargar; en tal caso, nos saltamos el resto de este paso y el siguiente paso también. Si no tenemos buena suerte, tendremos que construir la dirección de un segundo recurso. Cerca del final del recurso que tenemos entre manos, veremos que aparece la siguiente cadena de caracteres:
   assetDataId::B1B2B3B4B5B6
   Nos quedamos con el número de seis dígitos (aunque quizá podría tener una cantidad de dígitos diferente) B1B2B3B4B5B6 que identifica los datos del contenido y construimos la siguiente dirección:
   http://www.rtve.es/scd/CONTENTS/ASSET_DATA_TIPO/B6/B5/B4/B3/ASSET_DATA_TIPO/B1B2B3B4B5B6.xml
   En esta dirección, TIPO es lo mismo que tipo, pero en mayúsculas. La secuencia final se construye del mismo modo que en la anterior dirección, pero con el identificador de los datos del contenido B1B2B3B4B5B6.
5. Descargamos el segundo recurso cuya dirección acabamos de construir en el paso anterior. Este recurso contiene datos sobre el contenido que deseamos obtener. Hay muchos elementos <field> que a su vez contienen elementos <key< y <value>. Un elemento <field> interesante tiene el texto AS_CATEGORY en el subelemento <key> y un valor parecido a TE_CATEGORÍA (TE_ seguido de varias letras mayúsculas) en el subelemento <value>; este valor es la categoría del contenido y parece que no es muy importante (podemos inventarnos un valor cualquiera como TE_ABC y el método sigue funcionando). De igual manera, hay un elemento <field> cuyo subelemento <key> es ASD_FILE y cuyo subelemento <value> es la dirección relativa del contenido:
   /deliverty/demo/resources/parte_final_de_la_dirección
   Cogemos la parte final de esta dirección y construimos la dirección absoluta del fichero de audio o vídeo que buscamos:
   http://rtve.es/resources/TE_CATEGORÍA/parte_final_de_la_dirección
6. Descargamos el contenido cuya dirección acabamos de construir al final del paso anterior. Repetimos el procedimiento desde el tercer paso si en el segundo paso encontramos varias secuencias assetID… interesantes. ¡A disfrutar!

rtve-mediateca-dl versión 3.0

Esta técnica es un poco pesada y repetitiva si hay que aplicarla a menudo, así que, como otras veces, este artículo viene acompañado de un sencillo programita para sistemas *NIX que automatiza el trabajo. Los usuarios de otros tipos de sistemas informáticos tendrán que preparar sus propios automatismos o pedir ayuda a otras personas, que seguramente las habrá dispuestas y bien preparadas.

Los requisitos del programa rtve-mediateca-dl son los habituales: una máquina *NIX medianamente compatible con el estándar internacional POSIX, conexión a Internet y el programa GNU Wget (que rtve-mediateca-dl usa internamente como motor de descarga) instalado. He aquí el tarball comprimido con el código: rtve-mediateca-dl-3.0.tar.gz.

Para instalar el programa, hay que extraer el contenido del tarball, echarle un vistazo al Makefile y editarlo si es necesario y, finalmente, instalar:
make install

El funcionamiento del programa está documentado en la página de manual:
man rtve-mediateca-dl
También es posible acceder a la ayuda del programa con la opción --help:
rtve-mediateca-dl --help

Este programa informático es software libre y se distribuye bajo los términos de la licencia de copyleft GNU GPL versión 3 (o posterior).

Versión multiplataforma por jimcerberus

Esta última actualización del método fue motivada por un aviso de jimcerberus, quien además ha preparado el programa RTVE Downloader, escrito en el lenguaje de programación Python, disponible para otros sistemas aparte de *NIX y con una salida por pantalla notablemente más elegante que la del humilde rtve-mediateca-dl, así como una página de proyecto de verdad y el código siempre al día mediante el potente sistema de control de versiones Mercurial.

Me quito el sombrero.

Por cierto, RTVE Downloader también es software libre. ¡Genial!

Actualización:
El sistema de distribución de vídeo de la página de RTVE ha cambiado varias veces desde la escritura de este artículo y el método aquí descrito está obsoleto. El método que funciona en el momento de escribir esta actualización (septiembre de 2012) está en un artículo más reciente. También hay una versión al día del programita rtve-mediateca-dl que implementa esté método.

Categorías: Informática

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Palabras curiosas (4): «verbigracia»

2011-04-22

Continuamos con nuestra serie de artículos dedicada a palabras raras, llamativas o divertidas. La palabra de hoy es «verbigracia», que con un sonido tan gracioso y poco utilizado quiere decir 'ejemplo' (en el sentido de la autorización o ilustración de un aserto) o 'por ejemplo'. Viene de la locución latina verbi gratia, que quiere decir 'en beneficio de la palabra', es decir, que lo que sigue va a servir para ilustrar lo que se dijo inmediatamente antes.

«Verbigracia» es una palabra de uso poco frecuente en el español actual y con un escaso peso en la cultura popular. Una aparición de esta palabra que quizá muchos lectores incautos podrán reconocer se dio en el doblaje español del episodio 5F05 (novena temporada) de la teleserie de animación The Simpsons (Lisa the Skeptic). En este episodio, la pequeña Lisa Simpson desenterraba el esqueleto de lo que parecía ser un ángel, lo que provocaba un gran furor religioso en la población y daba lugar a numerosas situaciones chistosas. Lisa se mantenía en su posición escéptica sobre todo el asunto y, en plena indignación, le hablaba a su madre (Marge Simpson) sobre la mala opinión que tenía del crédulo pueblo. He aquí una transcripción aproximada de la parte relevante de la conversación:

Lisa

¿Qué persona adulta cree en ángeles?

Marge

Pues tu madre, verbigracia.

¿Podemos encontrar más ejemplos?

Categorías: Lingüística

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Braquistócrona

2011-04-19

El problema de la braquistócrona es el de encontrar el camino más rápido entre dos puntos que puede seguir un cuerpo forzado a seguir dicho camino en presencia de un campo gravitatorio uniforme y constante y en ausencia de fricción. Este problema, propuesto por Johann Bernoulli a finales del siglo XVII, supuso un excelente estímulo para el desarrollo de las técnicas del cálculo infinitesimal y el cálculo de variaciones.

A muchos estudiantes se les habla del problema de la braquistócrona y se les revela cuál es la solución sin entrar en detalles sobre cómo llegar a ella. Este artículo está dedicado a esas mentes curiosas que tienen las herramientas adecuadas en sus manos para resolver el problema, pero carecen todavía de la soltura adecuada para hacer un buen uso de ellas y necesitan un empujoncito. El rigor a veces brillará un poco por su ausencia y la notación será objeto de abuso, pero espero que los incautos lectores más exigentes en el terreno matemático sean misericordes.

Planteamiento del problema

La física de este problema es clásica y no relativista: son de aplicación las leyes del movimiento de Newton y el principio de relatividad de Galileo, el espacio es tridimensional y euclídeo y el tiempo sirve de etiqueta independiente.

Tenemos un cuerpo puntual y con masa, sometido a la atracción de un campo gravitatorio uniforme e invariable en el tiempo. Sostenemos el cuerpo en el borde de una rampa que conecta con un punto de destino que se encuentra más abajo. En un momento dado, soltamos el cuerpo y dejamos que se deslize sin rozamiento por la rampa bajo la acción de su propio peso. La pregunta es: ¿qué forma ha de tener la rampa para que el tiempo sea mínimo? La forma de esta rampa (la forma de la trayectoria) es la braquistócrona: la curva de descenso más rápido. Esta curva no es, en general, una línea recta. Al fin y al cabo, si nuestro móvil se desplaza en línea recta, acelera a ritmo constante durante todo el camino y buena parte del mismo se mueve muy despacio, así que no parece descabellado que una trayectoria distinta, con un tramo inicial más próximo a la vertical que sirva para acelerar mucho al principio del camino, permita alcanzar el destino en menos tiempo.

Solución

Algunas de las posibles trayectorias entre el punto de origen A y el punto de destino B. Sin pérdida de generalidad, suponemos que el eje x es horizontal y está orientado del punto de origen al punto de destino, z es vertical y apunta hacia arriba (en contra de la gravedad) y el eje y es horizontal y orientado de modo que el triedro xyz está orientado a derechas.

Vamos a resolver este problema con las potentes técnicas del cálculo de variaciones. Definimos, en primer lugar, las siguientes variables:

• g ≡ valor absoluto de la aceleración gravitatoria;
• m ≡ masa del cuerpo;
• s ≡ longitud del arco recorrido por el cuerpo en su trayectoria;
• T ≡ energía cinética del cuerpo en su trayectoria:
  T ≡ (1 ⁄ 2) m v²;
• t ≡ tiempo transcurrido desde el comienzo del movimiento;
• Δt ≡ tiempo total de viaje desde el punto de origen hasta el punto de destino:
  Δt ≡ ∫ds ⁄ v;
• V ≡ energía potencial del cuerpo en su trayectoria:
  V ≡ m g z;
• v ≡ rapidez del cuerpo:
  v ≡ ((dx ⁄ dt)² + (dy ⁄ dt)² + (dz ⁄ dt)²)^1 ⁄ 2 = ds ⁄ dt;
• x ≡ coordenada horizontal longitudinal del cuerpo en su trayectoria;
• x_A ≡ coordenada horizontal longitudinal del punto de partida;
• x_B ≡ coordenada horizontal longitudinaldel punto de destino;
• y ≡ coordenada horizontal lateral del cuerpo en su trayectoria;
• y_A ≡ coordenada horizontal lateral del punto de partida;
• y_B ≡ coordenada horizontal lateral del punto de destino;
• z ≡ coordenada vertical del cuerpo en su trayectoria;
• z_A ≡ coordenada vertical del punto de partida;
• z_B ≡ coordenada vertical del punto de destino.

La ligadura que mantiene al cuerpo pegado a la rampa es holónoma y no trabaja. No hay más interacciones aparte de la gravitatoria, que es conservativa. Por lo tanto, la energía mecánica, igual a la suma de las energías cinética T y potencial V, se conserva. De las expresiones dadas antes, se deduce la siguiente relación entre la rapidez v y la posición vertical z:
v = [2g (z_A − z)]^1 ⁄ 2.
Con esto, la dinámica está esencialmente resuelta y el problema interesante, el del diseño de la braquistócrona, queda facilitado en gran medida.

El tiempo que tarda el cuerpo en recorrer una longitud elemental ds de arco es:
dt = ds ⁄ v.
Si integramos esta expresión entre el punto de partida y el punto destino, obtenemos el tiempo total de viaje Δt:
Δt = ∫ds ⁄ v.
Con la expresión anterior de la rapidez despejada de la ecuación de la energía total, el tiempo total de viaje queda así:
Δt = ∫ds [2g (z_A − z)]^1 ⁄ 2.

Ahora vamos a expresar la anterior integral en función de coordenadas conocidas. Hay varias maneras de hacerlo; nosotros usaremos la coordenada vertical z como variable independiente y de integración y supondremos que podemos obtener una dependencia funcional para las otras dos coordenadas: x(z) y z(z). Esta elección de variables permite que los cálculos sean especialmente sencillos y tiene el interés de no ser la más habitual, pero es singular en algunos puntos que pueden ser de interés (donde la trayectoria es localmente horizontal y en puntos estacionarios de la posición lateral); aun así, la usaremos y a posteriori veremos que podemos prolongar la solución más allá de estos puntos singulares. El elemento de longitud es:
ds = [(dx ⁄ dt)² + (dy ⁄ dt)² + 1]^1 ⁄ 2 dz.
El tiempo total de viaje toma esta forma:
Δt = ∫{[(dx ⁄ dt)² + (dy ⁄ dt)² + 1] ⁄ [2g (z_A − z)]}^1 ⁄ 2 dz.

A partir de aquí, la notación puede volverse un poco pesada. Para simplificar un poco las cosas, introducimos los siguientes símbolos:

• x′ ≡ dx ⁄ dz;
• y′ ≡ dy ⁄ dz;
• I(x′,y′;z) ≡ {[(x′)² + (y′)² + 1] ⁄ [2g (z_A − z)]}^1 ⁄ 2.

Con esta nueva notación, el tiempo de viaje toma una forma muy compacta:
Δt = ∫I(x′,z′;z) dz.

La curva braquistócrona es la trayectoria que minimiza el tiempo de viaje. En el entorno de la braquistócrona, para variaciones infinitesimales arbitrarias (salvo en los puntos de origen y destino, donde no hay variación) δx(z) y δy(z) de las coordenadas horizontales x(z) y y(z), la variación ∂Δt del tiempo de viaje Δt ha de anularse como condición necesaria de mínimo:
∂Δt = 0 ∫(δx′ ∂I ⁄ ∂x′ + δy′ ∂I ⁄ ∂y′) dz;
∂Δt = −∫[δx (d ⁄ dz) ∂I ⁄ ∂x′ + δy (d ⁄ dz) ∂I ⁄ ∂y′] dz.
En la última expresión, hemos hecho uso del hecho de que los puntos de origen y destino son fijos:
δx(z_A) = δy(z_A) = δx(z_B) = δy(z_B) = 0.
Como las variaciones son, por lo demás, arbitrarias, la integral sólo puede ser nula si se cumplen las siguientes condiciones a lo largo de toda la trayectoria:
(d ⁄ dz) ∂I ⁄ ∂x′ = 0;
(d ⁄ dz) ∂I ⁄ ∂y′ = 0.
Éstas son las ecuaciones de Euler-Lagrange del problema de diseño de la braquistócrona.

Una vez obtenidas las ecuaciones diferenciales junto con sus condiciones de contorno (que consisten en obligar a la curva a partir del punto de origen y terminar en el punto de destino), podemos pasar a integrarlas. Vemos que podemos integrar una vez sin esfuerzo:
∂I ⁄ ∂x′ = C_x;
∂I ⁄ ∂y′ = C_y.
C_x y C_y son constantes de integración que podemos relacionar de la siguiente manera con otro juego de constantes C y φ:
C_x = C cos(φ);
C_x = C sin(φ).
Las ecuaciones quedan, una vez desarrolladas, de esta manera:
x′ = C cos(φ) {[z_A − z] [1 + (x′)² + (y′)²]}^1 ⁄ 2;
y′ = C sin(φ) {[z_A − z] [1 + (x′)² + (y′)²]}^1 ⁄ 2.
Ambas ecuaciones tienen la misma forma salvo por factores constantes. Podemos expresar la coordenada lateral y en función de la coordenada longitudinal x:
dy ⁄ dx = y′ ⁄ x′ = tan(φ).
Demostramos con esto que la braquistócrona es una curva plana. Como elegimos los ejes de coordenadas de modo que la coordenada lateral es nula tanto en el origen y_A = 0 como en el destino y_B = 0, deducimos que la coordenada lateral es nula a lo largo de toda la trayectoria: y = 0. Podemos suponer que cos(φ) = 1 y asumir que la constante de integración C puede tener cualquier signo.

Con todo esto, la ecuación diferencial es, finalmente:
x′ = C {[z_A − z] [1 + (x′)²]}^1 ⁄ 2.
Con unas pocas manipulaciones, la ecuación queda claramente en variables separadas:
dx = dz C (z_A − z)^1 ⁄ 2 ⁄ [1 − C² (z_A − z)]^1 ⁄ 2.
Vamos a hacer un cambio de variable: σ ≡ C (z_A − z)^1 ⁄ 2. La ecuación diferencial queda así:
C² dx = −2 σ² dσ ⁄ (1 − σ²)^1 ⁄ 2.
Esta ecuación pide a gritos otro cambio de variable: σ ≡ sin(θ). Con este cambio, nuestra ecuación mejora significativamente su aspecto:
C² dx = −[1 − cos(2θ)] dθ.
Hagamos un último cambio para que la estética mejore un poquito: η ≡ −2θ. La ecuación adopta finalmente este aspecto tan sencillito:
2C² dx = [1 − cos(η)] dη.
Ahora sólo queda hacer una integral que es inmediata. La curva braquistócrona tiene esta forma en función de la variable η:
x = x_A + [η − sin(η)] ⁄ (2C²);
z = z_A − [1 − cos(η)] ⁄ (2C²);
η_A ≤ η ≤ η_B.
Ésta es la curva braquistócrona. Se trata de una cicloide. Esta curva es algo más larga que un camino recto, pero tiene la ventaja de que, al empezar en vertical, permite que el móvil se mueva muy rápido desde muy pronto, lo que compensa la longitud extra.

La braquistócrona es una curva cicloide.

Es fácil comprobar que la condición de contorno de que la curva ha de pasar por el punto origen se cumple con η_A = 0. Las otras dos constantes C y η_B son algo más difíciles de calcular y hay que conseguir sus valores numéricamente o gráficamente. Puede ser útil introducir las variables auxiliares r (la distancia entre el punto de origen y el punto de destino) y m (la pendiente de la línea recta entre el punto de origen y el punto de destino) tales que:
r² ≡ (x_B − x_A)² + (z_B − z_A)²;
m ≡ (z_B − z_A) ⁄ (x_B − x_A).
Tenemos que resolver una ecuación trascendente para obtener η_B en función de m:
[cos(η_B) − 1] ⁄ [η_B − sin(η_B)] = m.
Una vez tenemos el valor de η_B, conocer C (o, mejor, 1 ⁄ (2C²)) es fácil:
1 ⁄ (2C²) = r ⁄ [2 + η_B² − 2η_B sin(η_B) − 2cos(η_B)].

Relación entre la pendiente m de la recta entre el punto de origen y el punto de destino y el parámetro η_B del punto de destino.

Relación entre el producto de la constante de integración 2C² y la distancia recta r entre los puntos de origen y destino y el parámetro η_B del punto de destino. La singularidad en η_B = 0 es de primer orden y la singularidad en η_B = 2π es de segundo orden.

¡A partir de cierto valor de m, la curva desciende por debajo de z_B y luego vuelve a subir! En principio, tenemos un punto singular si expresamos la posición horizontal x en función de la posición vertical z y nuestro cálculo queda bajo sospecha. Por otra parte, x es una función monótona de η, así que parece que habría sido más riguroso deducir la ecuación diferencial con z en función de x. Habríamos llegado al mismo resultado, cosa que es fácil de comprobar.

Una trayectoria braquistócrona que desciende por debajo de la altura del punto de destino.

Todavía no podemos darnos por satisfechos. Sabemos la forma de la curva, pero no el tiempo de viaje. Afortunadamente, el cálculo no tiene misterio después de haber llegado tan lejos. Lo único que tenemos que hacer es usar lo que sabemos de la solución en la expresión del tiempo de viaje:
t = ∫{[1 + (x′)²] ⁄ [2g (z_A − z)]}^1 ⁄ 2 dz;
t = ∫[2g (z_A − z) (1 − C²)]^−1 ⁄ 2 dz.
La anterior integral va desde el punto de origen hasta un punto cualquiera de la curva para el que queremos saber el tiempo de paso. Hagamos uso de la variable auxiliar σ que tan buenos resultados nos dio antes:
t = ∫−[2 ⁄ (2C² g)] (1 − σ²) dσ = −2asin(σ) ⁄ (2C² g)^1 ⁄ 2.
Si cambiamos a la variable θ y de ahí a la variable η, tenemos la expresión final del tiempo empleado en llegar al punto cuyo parámetro es η:
t = [1 ⁄ (2C²)]^1 ⁄ 2 (η ⁄ √g).
El tiempo de viaje total Δt es:
Δt = [1 ⁄ (2C²)]^1 ⁄ 2 (η_B ⁄ √g).
Este tiempo es inferior al tiempo Δt_s que llevaría cubrir la distancia entre origen y destino en línea recta:
Δt_s = r {2 ⁄ [(z_A − z_B) g]}^1 ⁄ 2.
En efecto, si comparamos los tiempos, nos queda:
Δt ⁄ Δt_s = η_B {[1 − cos(η_B)] ⁄ [2η_B + 4 − 4η_B sin(η_B) − 4cos(η_B)]}^1 ⁄ 2.

Duración de la trayectoria braquistócrona relativa a la duración de la trayectoria recta. La braquistócrona es más rápida (es decir, el tiempo de viaje Δt es más corto que el tiempo de viaje Δt_s de la trayectoria recta), tanto más cuanto más grande es el parámetro η_B del punto de destino (es decir, cuanto más pequeña es la pendiente de la trayectoria recta).

Categorías: Física, Matemáticas

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Línea de Kármán: la frontera del espacio exterior

2011-04-14

La frontera del espacio exterior es un concepto algo difuso, ya que la atmósfera terrestre no desaparece de golpe a partir de cierto punto. A pesar de esto, y con el fin de establecer un límite entre lo que es actividad aeronáutica y lo que es actividad astronáutica, la Federación Aeronáutica Internacional establece el límite en los 100 km de altitud sobre el nivel del mar. Esta marca tiene una relación especial con los vehículos voladores. Sabemos que la fuerza de sustentación aerodinámica que experimenta un vehículo crece al moverse más rápido y decrece cuando la densidad atmosférica se hace pequeña. Pues bien, más o menos cerca de los 100 km de altitud, la atmósfera es tan tenue que cualquier vehículo tendría que desplazarse tan rápido para sustentar su propio peso mediante fuerzas aerodinámicas que igualaría la velocidad necesaria para mantenerse en órbita circular. Más arriba, podemos considerar que los vuelos son astronáuticos (ya que la atmósfera nos sirve de poco y tenemos que movernos como hacen los cuerpos celestes), más abajo, podemos considerar que los vuelos son aeronáuticos (ya que hacemos uso de la atmósfera para mantenernos en vuelo). Este límite se conoce como la línea de Kármán (enlace a una página en inglés), cuyo nombre viene de ese gigante aeroespacial que fue Theodore von Kármán.

Categorías: Aeroespacio

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Hurón

2011-04-13

Imagen PNG en 256 tonos de gris, 800 píxeles de ancho y 1227 píxeles de alto, 64,2 kB.

Un hurón con corbata. El concepto del vestuario está evidentemente inspirado en los queridos personajes de Hanna-Barbera.

Categorías: Dibujos

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Noche de Yuri: medio siglo de vuelos espaciales tripulados

2011-04-12

Hoy es 12 de abril y, como todos los años, toca celebrar la Noche de Yuri. La celebración de este año es notablemente notable: los vuelos espaciales tripulados por humanos cumplen ni más ni menos que cincuenta años.

Corría el año 1961 y, un 12 de abril como hoy, a las 6:07 GMT, el cosmonauta Yuri Gagarin se adentraba en el inhóspito espacio exterior a bordo de la Vostok 3KA, un diminuto punto en un cosmos inmenso. Así comenzaba la gran aventura humana de los vuelos espaciales tripulados. Desde entonces, más de medio millar de valientes han arriesgado sus vidas (y algunos héroes no han logrado volver del viaje) saliendo al espacio exterior para llevar más y más lejos los límites de la audacia y del ingenio humanos.

Categorías: Aeroespacio, Fechas

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Jóvenes sin futuro pero sin miedo salen a la calle

2011-04-07

Dice la pintada: juventud sin futuro, sin casa, curro, sin pensión, sin miedo.

Miles de jóvenes se manifestaron hoy por toda España en protesta por los dolorosos recortes sociales de los últimos tiempos. Los actos fueron convocados por la iniciativa Juventud Sin Futuro, un grupo se dio a conocer recientemente con un contundente manifiesto.

La manifestación de Madrid, convocada a las 19:00 CEST en Antón Martín, reunió varios miles de personas. A base de contar pasos rápidamente y estimar la densidad de población, deduzco que habría en torno a las 4000 personas, millar arriba o millar abajo, a partir de las 19:30 CEST.

La multitud a lo largo de la calle Atocha a las 20:14 CEST.

La gente de El Manifestómetro (que llevaba ya demasiado tiempo sin nuevos artículos) contó los manifestantes reunidos en el acto final frente al Reina Sofía. El resultado es de unas mil quinientas personas a las 21:00 CEST. Este número es bastante inferior al mío, pero ello se debe a que en la plaza no se quedaron precisamente todos los asistentes. En la fotografía que precede a este párrafo, tomada desde la altura de la tienda de artículos para bebés de calle Atocha, 96, se ve que los manifestantes llegan, por lo menos, hasta el cruce con Zurita, que está a 150 m de distancia. En la fotografía que sigue a este párrafo, se ve que la cabeza de la manifestación llega a la farmacia que hay en calle Atocha, 109, a unos 70 m de distancia. La distancia total es, por lo tanto, de unos 220 m. Como los manifestantes se extienden a lo ancho de la calzada, tenemos una franja de 220 m de largo y unos 10 m de ancho. Redondeemos la superficie a la baja a 2000 m². Si suponemos una densidad de unos dos manifestantes por cada metro cuadrado de superficie, tenemos unos cuatro mil manifestantes, que es lo que estimé a pie de calle. Si miramos otras fotografías que la gente ha ido colgando en diversos sitios, llegamos a números como el que doy.

Cabecera de la manifestación a las 20:14 CET.

Periodismo ciudadano

La presencia de fotógrafos —muchos de ellos no profesionales— era más que notable. Todo el mundo tiene su blog, su página personal, su pequeño lugar donde compartir información con los demás. «Fotos o nunca sucedió», que dirían; pues bien, las pruebas fotográficas no faltaron.

Diversos colectivos implicados

Cartel de Juventud sin Futuro: Sin casa, sin curro, sin pensión, sin miedo.

Además de los jóvenes que respondían directamente o indirectamente a la convocatoria de Juventud sin Futuro, varios colectivos (algunos de ellos con reivindicaciones muy específicas) se mostraron con nombre propio.

A la izquierda, el cartel de la Coordinadora Juvenil de Lucha: La juventud responde contra la crisis del capital. A la derecha, el cartel de la Plataforma FP Madrid: No a la degradación de la FP.

Cartel de la Coordinadora de Estudiantes de la UAM: Contra la precariedad, lucha, ¡Autónoma!

Cartel de la Coordinadora de Institutos de Madrid: ¡Institutos en lucha! No a la precarización de nuestro futuro.

Cartel de la asamblea de Filosofía y Filología de la UCM: Fuera las empresas de la universidad. Es un cartel en protesta contra la mercantilización de la educación universitaria.

Cartel de la asamblea de Filosofía y Filología de la UCM: No a la Estrategia Universidad 2015. La Estrategia Universidad 2015 es una iniciativa estatal de reforma universitaria que ha recibido críticas por parte de muchos estudiantes.

Cartel de la Coordinadora Anti Privatización de la Sanidad de Madrid: Sanidad Pública: ni privatización, ni copago. Derogación 15/97. Nótese que han escrito «co» donde tendría que poner «re».

Cartel de ATTAC Somosaguas: Indignados, comprometidos y sin miedo. Queremos un futuro y lo queremos ahora.

Cartel del Movimiento Zeitgeist: Busca, investiga y encuentra la verdad. Este movimiento propone una economía en la que no interviene el dinero, una organización científica de la sociedad y la facilitación de la toma de decisiones mediante modelos resueltos mediante potentes computadores.

Por supuesto, no pudo faltar nuestro viejo amigo Guy Fawkes.

Guy Fawkes también vino a esta manifestación.

Civismo y prudencia

La manifestación avanzó sin contratiempos hasta el final. Si algo caracterizó la protesta, esto fue la calma. Las consignas y los carteles eran, por lo general, suaves y prudentes. Entre las consignas, se contaban las siguientes, algunas de ellas auténticos clásicos que no pueden faltar en cualquier manifestación:

• ¿Qué pasa? ¿Qué pasa? ¡Que no tenemos casa!
• ¡No somos rentables; somos imprescindibles!
• Lo llaman democracia y no lo es…
• ¡Esta crisis no la pagamos!

¡Manos arriba! ¡Esto es un atraco! También: ¡Estas son nuestras armas!

Detalle simpático: un manifestante levanta su monociclo al ritmo de las consignas.

La policía esperaba en la desembocadura de la calle Atocha, separada del frente de protesta por una cadena humana formada por los propios manifestantes.

Cadena humana formada por los propios manifestantes para separar a la multitud de los policías.

Si hubo alborotadores con ganas de bronca, su número fue insignificante.

Galería de carteles

Cartel en la espalda de una joven: Así, no. Resume lo que opinan los asistentes sobre las medidas tomadas a raíz de la crisis económica.

Los carteles usados en las manifestaciones son una interesantísima forma de expresión. Los temas de esta protesta se centraron en varios temas:

• el problema de la vivienda;
• los causantes de la crisis y los beneficiados por ella;
• el subempleo;
• la movilización del pueblo.

Carteles sobre el problema de la vivienda

¡Rebeldes sin casa!

Si no hay vivienda, no hay viviendo.

Cartel en protesta contra el precio de la vivienda: Precio no sostenible.

Carteles contra los causantes de la crisis y los beneficiados por ella

¡A mí, menos; a banca y clero, más!.

Si el beneficio es vuestro, ¡¡¡vuestra es la crisis!!!

Dos carteles sostenidos por mujeres no tan jóvenes en el carné, pero sí en espíritu: Crisis: que la paguen los que la han creado y ESPEculo, ROBO lo público!. El segundo cartel sirve de protesta contra la privatización de los servicios públicos en Madrid. Nótese el sutil uso de las mayúsculas.

Varios carteles. En el centro: Las bancarrotas se socializan; las ganancias se privatizan. Es más libre el dinero que la gente.

Carteles sobre el subempleo

Unas pintadas. A la izquierda, el lema de Juventud sin Futuro. A la derecha: Violencia es cobrar 600 €. Lo mismo aparecía en carteles portados por manifestantes.

Carteles con múltiples reivindicaciones

Varios carteles. A la izquierda: ¡Fuera sueldazos! ¡Ayuda a parados! Justo detrás, tapado parcialmente: Parados: ¡Moveos! En el centro: ¡Democracia económica! A la derecha, el cartel de Juventud sin Futuro.

Cartel que reivindica: ¡Techo y trabajo, sin ser esclavo!

Cartel con algunas reivindicaciones: Queremos menos dinero para los bancos, más dinero para sanidad pública, para educación, para vivienda digna, para un ¡futuro mejor!

Carteles diversos

Juventud, ¿divino tesoro?

Por luchar, vencimos la crisis… del fútbol.

Manifiesto final, disolución y cargas

Al llegar al final de la calle Atocha, la corriente humana se bifurcó. El grupo principal se desvió hacia el Reina Sofía; allí permaneció una parte, mientras que otra se dispersó rápidamente. Los actos terminaron con la lectura de un manifiesto en la misma plaza. No pude permanecer allí el tiempo suficiente para dar un testimonio detallado de cómo acabó todo, pero parece que, ante las pocas perspectivas de que el acto finalizara rápidamente, las fuerzas policiales forzaron su disolución y hubo choques violentos en los que muchos críos habrán aprendido a temer a la autoridad.

Parte de los manifestantes se concentró frente al Reina Sofía, donde se leyó un manifiesto como conclusión de los actos.

Categorías: Actualidad, Derechos, Madrid

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La diferencia (o falta de ella) entre badenes y resaltos

2011-04-03

Es muy frecuente referirse con la palabra «badén» a los obstáculos artificiales elevados que, situados a lo largo de la dirección transversal de una calzada, tienen el objetivo de obligar a los vehículos a circular despacio —es decir, los resaltos o «guardias tumbados»—. Esto es llamativo porque, al fin y al cabo, un badén venía siendo siempre todo lo contrario: un hundimiento en el camino. En efecto, «badén» viene de la voz árabe cuya aproximación fonética española sería *batín y cuyo significado es el de 'suelo hundido'. Por esto, parece que llamar «badén» a un resalto es incorrecto. Ahora bien, la fuerza de la repetición de este mal uso ha llevado, como en otras ocasiones, a la aceptación de la antonimia en una sola palabra, puesto que la RAE contempla como última (quinta) acepción de «badén» la propia definición de «resalto».

Categorías: Lingüística

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