El modelo epidemiológico SIR (5)
2020-03-22
El modelo SIR es un modelo muy sencillo del comportamiento de una epidemia a lo largo del tiempo. Tras explicar algunas características del modelo, vimos cómo simplificar el modelo para analizar el comienzo de la propagación de una nueva epidemia, así como el comportamiento de la proporción de infectados en esta fase inicial y cómo relacionar las variables sin necesidad de integrar en el tiempo. Hoy veremos cómo estimar el máximo número de infectados simultáneos, que es una magnitud importante a comparar con la capacidad de los servicios sanitarios.
Recordemos que el modelo sigue a lo largo del tiempo t la evolución de la proporción de susceptibles S(t), la proporción de infectados I(t) y la proporción de recuperados (inmunes y fallecidos) R(t) mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
dS ⁄ dt = −(R0 ⁄ tI) S I;
dI ⁄ dt = (R0 ⁄ tI) S I − (1 ⁄ tI) I;
dR ⁄ dt = (1 ⁄ tI) I.
El parámetro R0 es el número medio de contagios por infectado cuando toda la población es susceptible y el parámetro tI es el tiempo medio que permanece un paciente infectado.
Asumamos que los parámetros son constantes. Vimos que el número de infectados crece inicialmente de forma exponencial siempre que R0 > 1. Ahora bien, el ritmo de crecimiento comienza a frenarse en algún momento hasta que se anula y, finalmente, desciende el número de infectados simultáneos. El máximo de infectados simultáneos se produce cuando el ritmo de crecimiento se anula:
dI ⁄ dt = 0 = (R0 ⁄ tI) S I − (1 ⁄ tI) I.
No interesa la solución trivial I = 0, que corresponde a un mundo sin infectados y, por lo tanto, un mundo en el que nadie puede contagiar a nadie. La solución interesante se da, por lo tanto, cuando
0 = (R0 ⁄ tI) S − (1 ⁄ tI).
De esto se deduce que, en el máximo de infectados simultáneos, la población susceptible queda reducida a
S = 1 ⁄ R0.
El número de infectados se deduce las relaciones del anterior artículo:
I = I(0) + S(0) − 1 ⁄ R0 − (1 ⁄ R0) log[R0 S(0)].
Igual que en otras ocasiones, es posible simplificar la expresión en el caso de una epidemia en la que se parte de un número muy pequeño de infectados y el resto de la población inicial es susceptible: S(0) ≅ 1, I(0) ≪ 1, R(0) ≅ 0. La máxima proporción de infectados simultáneos queda de la siguiente forma:
I ≅ 1 − 1 ⁄ R0 − (1 ⁄ R0) log(R0).
La siguiente curva ilustra esta solución simplificada:
Máxima proporción de infectados simultáneos frente al ritmo
reproductivo básico (R0 en
las ecuaciones).
Cuando no hay inmunidad, la máxima proporción de infectados alcanza niveles muy elevados con valores moderados del ritmo de reproducción. Ahora bien, este modelo elemental no diferencia entre casos que necesitan atención sanitaria y casos leves.
La figura es muy interesante. La parte derecha de la curva corresponde a un brote de sarampión en una población sin inmunidad que no toma ninguna medida para frenar los contagios: no es que casi toda la población acabe infectada, es que la mayor parte de la población acaba infectada simultáneamente.
Categorías: Matemáticas, Salud
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