Probabilidad condicionada
2016-03-20
Ya vimos que el concepto matemático de la probabilidad puede significar varios conceptos diferentes (pero relacionados entre sí) en el mundo físico. Hoy vamos a hablar de un caso particular de probabilidad: la probabilidad condicionada, que es la probabilidad de un fenómeno cuando nos limitamos a estudiar los casos en los que se da otro fenómeno. Si formalmente y de forma habitual escribimos la probabilidad de un suceso A así:
P(A),
la probabilidad condicionada de A dado un suceso B se escribe así habitualmente:
P(A|B).
Cuando tomamos la probabilidad de un fenómeno sin condicionar, estudiamos todo el espacio de posibilidades. Al evaluar una probabilidad condicionada, lo que hacemos es limitarnos a estudiar los casos en los que se da la condición. Por ejemplo, podemos preguntarnos cuál es la probabilidad de que llueva un día cualquiera de todo el año y eso sería una probabilidad sin condicionar:
P(llueva),
pero también podemos preguntarnos cuál es la probabilidad de que llueva un día cualquiera del mes de marzo y eso sería una probabilidad condicionada:
P(llueva|estamos en marzo).
Hablar de probabilidad condicionada es lo mismo que hablar de probabilidad cuando se restringen las condiciones en las que se desarrollan los hechos.
La siguiente figura sirve para ilustrar el concepto de la probabilidad condicionada desde un punto de vista frecuentista:
Ilustración de una interpretación frecuentista de la probabilidad
condicionada.
Estudiamos la probabilidad de encontrar una estrellita como algo proporcional al número de estrellitas que hay por unidad de superficie. La probabilidad general es proporcional al número total de estrellitas dividido entre el área grande coloreada (que incluye la superficie pequeña del interior), mientras que la probabilidad condicionada a estar en el área interior es proporcional al número de estrellitas que hay en el área interior dividido entre la superficie del área interior. Como hay más concentración de estrellitas en el área interior (que es menor que el área total), la probabilidad de encontrar una estrellita condicionada a que esté en el área interior es más grande que la probabilidad de encontrar una estrellita en general.
Desde el punto de vista bayesiano, la probabilidad condicionada es la probabilidad que asignamos a un suceso tras conocer cierta información (que se da el fenómeno condicionante). De vuelta al ejemplo de la lluvia, la probabilidad general de que llueva es la que asignamos cuando no sabemos en qué día estamos, mientras que la probabilidad de que llueva condicionada a que es el mes de marzo es la que asignamos cuando conocemos el dato de que estamos en pleno mes de marzo.
La probabilidad condicionada no es lo mismo que la probabilidad de que ocurran dos hechos simultáneamente: en el ejemplo anterior, hablamos de cómo de probable es que llueva limitándonos a estudiar los días de marzo, no cómo de probable es que llueva y sea marzo al mismo tiempo.
Categorías: Matemáticas
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