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Ejemplo del teorema de Bayes aplicado a las vacunas

2021-11-24

Veamos cómo aplicar el teorema de Bayes sobre datos conocidos de salud pública para estimar la eficacia de una vacuna.

Digamos que tenemos una población en la que hay cierta proporción P(vacunada) de la población susceptible que está vacunada contra cierta enfermedad y cierta proporción P(no vacunada) = 1 − P(vacunada) que no está vacunada contra dicha enfermedad.

La enfermedad es potencialmente grave y muchos pacientes acaban en cuidados intensivos. La proporción de pacientes en cuidados intensivos frente a la población susceptible total es P(cuidados intensivos), pero veremos que no la necesitamos para los cálculos que vamos a realizar. De los pacientes en cuidados intensivos, una proporción P(vacunada|cuidados intensivos) está vacunada y una proporción P(no vacunada|cuidados intensivos) = 1 − P(vacunada|cuidados intensivos) está sin vacunar.

Aunque conocemos la proporción de vacunados y no vacunados en cuidados intensivos, no conocemos la proporción de pacientes en cuidados intensivos entre la población susceptible total vacunada y entre la población susceptible total sin vacunar. La primera es P(cuidados intensivos|vacunada) y la segunda es P(cuidados intensivos|no vacunada. El teorema de Bayes permite relacionar unas proporciones con otras:

P(cuidados intensivos|vacunada) = P(vacunada|cuidados intensivos) × P(cuidados intensivos) ⁄ P(vacunada).

P(cuidados intensivos|no vacunada) = P(no vacunada|cuidados intensivos) × P(cuidados intensivos) ⁄ P(no vacunada).

Podemos estimar la eficacia de la vacuna frente a acabar en cuidados intensivos de la siguiente manera:

eficacia = 1 − P(cuidados intensivos|vacunada) ⁄ P(cuidados intensivos|no vacunada) = 1 − [P(vacunada|cuidados intensivos) ⁄ P(no vacunada|cuidados intensivos)] × [P(no vacunada) ⁄ P(vacunada)].

La proporción total de población susceptible en cuidados intensivos P(cuidados intensivos) se cancela convenientemente gracias a los milagros del álgebra elemental.

Ahora supongamos que la proporción de población susceptible vacunada es del 90 % y que de los pacientes que acaban en cuidados intensivos, el 40 % había recibido la vacuna. Estos números son una simplificación muy razonable de la realidad de cierta epidemia que sigue azotando hoy España. Tenemos la siguiente estimación de la vacuna o las vacunas a dicha enfermedad a día de hoy en España:

eficacia = 1 − [0,4 ⁄ (1−0,4)] × [(1−0,9) ⁄ 0,9] ≅ 0,9.

Los números utilizados, como tienen una única cifra significativa, no permiten dar una aproximación más fina. La fórmula empleada, por lo demás, es una necesidad matemática y es una insensatez peligrosa tratar de razonar con cualquiera que acepte los números introducidos pero no acepte el resultado obtenido.

Categorías: Matemáticas, Salud

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