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Más vale maña que fuerza

2017-08-07

Me plantearon el problema de calcular la cantidad de cifras decimales del número entero N que cumple la siguiente condición:

1 ⁄ 1 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3 + … + 1 ⁄ N > 100.

La solución es fácil de encontrar gracias a una famosa relación entre la serie armónica, el logaritmo y la constante de Euler-Mascheroni γ:

1 ⁄ 1 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3 + … + 1 ⁄ N = ln(N) + γ + |o(1)|.

Gracias a esta propiedad, unos sencillos cálculos indican en cuestión de quizá unas decenas de segundos que el número de cifras decimales de N es igual a 44.

Como alternativa, podríamos buscar la solución por fuerza bruta, a base de hacer sumas parciales de la serie armónica hasta cumplir la desigualdad. Es sin duda un trabajo muy notable, pues el número de términos que hay que sumar, escrito sobre el papel, tiene la friolera de 44 cifras decimales: el algoritmo de fuerza bruta tiene un mínimo de en torno a 10⁴⁴ operaciones. Hoy existen microprocesadores de propósito general que pueden realizar del orden de 10¹¹ operaciones cada segundo si la carga de trabajo es la adecuada. Para ser optimistas, asumamos que tenemos una máquina capaz de añadir y comprobar 10¹¹ términos de la serie armónica cada segundo. Esta máquina tardaría del orden de 10³³ s en encontrar el valor exacto de N con el método de fuerza bruta. Este tiempo es inmenso:

• El universo tiene una edad estimada de unos 4,35 ⋅ 10¹⁷ s, que es del orden de 10⁻¹⁶ el tiempo que tardaría nuestra máquina en encontrar la solución del problema con el método de fuerza bruta.
• Si quisiéramos tardar del orden de 10 s (lo que lleva el método del logaritmo) en alcanzar la solución, necesitaríamos del orden de 10³² máquinas. Podría reducirse la cantidad en unos pocos órdenes de magnitud si usáramos circuitería especializada en vez de computadores de propósito general, pero no lo suficiente como para que el trabajo se vuelva viable.

Hay más. Para cambiar de forma irreversible 1 bit de información a una temperatura ambiente de unos 290 K hace falta una energía de al menos unos 2,8 ⋅ 10⁻²¹ J. Por hacer la broma, imaginemos que disponemos de un dispositivo capaz de añadir y verificar un término de la suma parcial de la serie armónica con un cambio reversible de un único bit. Como mínimo, haría falta una energía del orden de los 10²³ J para encontrar la solución. Esta cota está muy, pero que muy por debajo de lo que permite la tecnología actual y, aun así, es abrumadoramente grande: el consumo energético de toda la actividad humana es del orden de 10²⁰ J o 10²¹ J al año.

En un ámbito muy limitado, la relación entre los números armónicos y el logaritmo es más potente que nuestros ordenadores más rápidos. ¡Bien dicen que más vale maña que fuerza!

Categorías: Matemáticas

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