Diseño de una estantería librería (3)
2015-01-23
Esta semana empezamos a ver el diseño de una estantería librería hecha con tableros de aglomerado de densidad media. Tenemos las baldas dimensionadas a flexión estática, pero todavía hay que ver si la estructura completa es razonablemente estable o puede pandear bajo cargas pequeñas. El objetivo es poder montar la estantería sin necesidad de anclarla a la pared.
Calculamos las baldas a flexión como si estuvieran simplemente apoyadas: libres de rotar en sus extremos, como si estuvieran montadas sobre bisagras. Si esto fuera así, la estructura sería un mecanismo inestable como el de la siguiente figura:
Pandeo de una estantería con uniones perfectamente flexibles a
rotación.
Las baldas irán atornilladas a escuadras. Estas uniones pueden ser muy flexibles frente a movimientos pequeños, pero cuando la estantería se inclina hacia un lado lo suficiente, los cantos de las baldas pegan contra los paneles verticales y ya no pueden rotar libremente, con lo que las baldas tienden a salir entonces aproximadamente perpendiculares. En ese momento, la estructura se rigidiza repentinamente y ya necesita un peso importante para pandear.
No buscamos mucha precisión en la predicción del pandeo de la estantería, así que podemos permitirnos hacer un cálculo aproximado mediante el método de Rayleigh con un modo asumido con buena pinta. El de la figura siguiente puede servir:
Modo de pandeo asumido.
En este modo asumido, los paneles verticales no se doblan, sino que rotan como si estuvieran articulados con el suelo mediante bisagras. Esto no es del todo descabellado de asumir cuando las rotaciones todavía no son muy grandes, ya que la fricción impide que el canto del panel deslice contra el suelo, pero no hace nada contra la rotación. Las baldas, como vimos antes, salen aproximadamente perpendiculares a los paneles verticales. Está claro que este modo no es muy realista, ya que el momento flector necesario para forzar la perpendicularidad de las baldas tendría que doblar los paneles verticales, pero sirve para un cálculo inicial rápido que indicará una cota superior y el orden de magnitud de la carga crítica de pandeo. Matemáticamente, asumimos la siguiente forma para la elástica de una balda cualquiera cuando la rotación de los paneles verticales es la θ:
w(x) ≡ θ [l ⁄ (2 π)] sin(2 π x ⁄ l).
Detalle del modo asumido para las baldas.
La balda con esta elástica almacena cierta energía potencial:
Ubalda = ∫0≤x≤l(1 ⁄ ) E (b h3 ⁄ 12) [w''(x)]2 dx = π2 E b h θ2 ⁄ (12 l),
con
- E ≡ módulo elástico del aglomerado de densidad media = 1,7 GPa;
- b ≡ profundidad de la balda = 30 cm;
- h ≡ espesor de la balda = 1 cm;
Como tenemos N baldas, la energía potencial elástica es
U = N Ubalda.
El número de baldas es N = 5.
La altura entre niveles es L = 30 cm, así que el nivel n-ésimo desciende una distancia
d(n) = n L [1 − cos(θ)] ≈ n L θ2 ⁄ 2.
Descenso de un nivel debido a la rotación.
Cada balda aguanta un peso W. Como la rotación de los tableros provoca un pequeño descenso d(n) de cada nivel, el peso n-ésimo realiza un trabajo que es
Vn = W d(n) = W L n θ2 ⁄ 2.
El trabajo total es
∑1≤n≤NVn = W L N (N+1) θ2 ⁄ 4.
En el pandeo, la energía elástica iguala al trabajo:
U = V.
Esto es lo mismo que decir
π2 N E b h θ2 ⁄ (12 l) = W L N (N+1) θ2 ⁄ 4.
El peso por balda crítico de pandeo es, por lo tanto,
W = π2 E b h ⁄ [3 (N+1) l L].
Con los números que hemos manejado, W ≈ 1,2 kN. Hay que recordar que este modo asumido es quizá poco realista y, en realidad, la carga crítica de pandeo es menor. Rehice los cálculos con el método de Rayleigh-Ritz y más términos; parece que el resultado converge a W ≈ 400 N, es decir, a lo que es colocar 40 kg de libros por balda. Aunque es difícil colocar más de 30 kg de libros en una balda, el margen es tan pequeño que resulta incómodo. Hay que buscar una solución. Sin llegar a anclar la estantería a la pared, las soluciones típicas pasan por fijar un panel trasero o por rigidizar el pie de la estantería para impedir que rote libremente. Afortunadamente, veremos que hay una muy conveniente en este caso.
Categorías: DIY
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