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Cómo estimar potencias mentalmente

2014-01-11

Hoy vamos a aprender a estimar rápidamente potencias reales de números reales positivos con errores bastante razonables (del orden del 5 % como mucho). La técnica se basa en las que ya conocemos para estimar logaritmos y la función exponencial. Nos basamos en la siguiente propiedad:

a^b = e^{b ⋅ log(a)}.

Sabemos calcular logaritmos, productos y exponenciales en base e con un par de cifras, así que podemos realizar el cálculo cómodamente.

Esperamos buena precisión cuando los números no son muy grandes. Si en nuestro cálculo acabamos con la exponencial de un número enorme, no podremos ser precisos. Si manejamos un error del 5 % en el argumento de la exponencial, el error final será mayor en cuanto el argumento supere el valor 2.

Primer ejemplo

Digamos que deseamos conocer la raíz cuadrada de 3. Ya conocemos una técnica rápida para estimar raíces cuadradas; esta técnica nos indica que el valor es aproximadamente 1,7. Alternativamente, podemos usar la igualdad 3^0,5 = e^0,5 log(3). Como log(3) ≈ 1,1, tenemos que calcular e^0,5 1,1 = e^0,55; esto es aproximadamente igual a 1,7, que coincide con el anterior y es una excelente aproximación de la raíz cuadrada de 3.

Segundo ejemplo

La población mundial actual es de unas 7,1 ⋅ 10⁹ personas y crece a un ritmo próximo al 1 % anual. Si siguiera creciendo a este ritmo, ¿cómo quedaría dentro de un siglo? Para saberlo, tenemos que calcular 7,1 ⋅ 10⁹ ⋅ 1,01¹⁰⁰ = 7,1 ⋅ 10⁹ ⋅ e^{100 log(1,01)}. En primer paso es calcular log(1,01) ≈ 0,01. Seguidamente, calculamos e^{100 ⋅ 0,01} = e¹ ≈ 2,7. Nos queda, por lo tanto, una población prevista de 19 ⋅ 10⁹ personas. La predicción es poco realista por la tasa de crecimiento constante.

Categorías: Matemáticas

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